martes, 14 de febrero de 2012

Los "límites" de los problemas geométricos



Aún recuerdo perfectamente la primera vez que mi abuelo me explicó un problema geométrico, y cómo descubrí cierta fascinación con las matemáticas. Se trataba de una paradoja, que podría ser una versión de la paradoja de Aquiles y la Tortuga de Zenón, entre dos líneas rectas paralelas. La cuestión era la siguiente: las líneas rectas son infinitas y dos rectas paralelas no se cortarían jamás. Ahora trazamos una línea perpendicular a ambas, de forma que el ángulo comprendido entre cada recta y esta línea es de 90º. La siguiente línea que trazamos está inclinada, de manera que se forma un ángulo agudo entre la línea y una de las rectas paralelas, y un ángulo obtuso entre la línea y la otra recta. Como en el dibujo.



De esta forma, continuaba mi abuelo, el sentido común nos dice que la línea que une las paralelas llegaría a tener un ángulo de 0º con la paralela de abajo. Es decir, sería paralela también. Pero como la progresión nos dice que todas las líneas acaban cortando a la paralela superior en algún punto, la conclusión sería que las líneas paralelas se cortan en el infinito. 

Es una conclusión impactante, al menos a mí me lo pareció en su momento. Aunque no es cierta y vamos a ver porqué.Resulta que cuando Zenón planteó su paradoja, aún no se había desarrollado el concepto de límite. ¿Y qué es ese concepto? Copio y pego de la Wikipedia:

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.
¿Qué significa esto? Pues que miramos la función y vemos a qué tiende su incógnita (la x suele ser la letra más usada). Cuando hay varias x en la fórmula, hay una serie de pasos que permiten ir simplificando la ecuación para poder descubrir a qué valor tiende cuando la x tiende a infinito (en realidad, la x puede tender a cualquier valor y también calculamos su límite). Así que este problema se tiene que resolver sacando la ecuación que "corresponde" con el problema.

Para ello, basta con aplicar trigonometría en el dibujo anterior de manera que terminemos obteniendo una relación entre el ángulo que forma la línea con la perpendicular a las dos paralelas (que puede tomar valores desde 0º hasta 90º, que correspondería con el momento en el que es paralela a la recta de abajo) y la distancia desde nuestro origen en que corta a la paralela superior.

 

No voy a entrar en detalles, pero no es muy complicado. La ecuación final que obtenemos es 
x=5 tg(a) 
(en realidad obtenemos dos ecuaciones como la anterior, pero una de ellas tiene un signo menos delante y la descartamos porque nos interesan los valores positivos de la x). Ahora tenemos que ver cómo es la función tangente de un ángulo al que hemos llamado a en este caso. Para ello, vamos a ver la gráfica tal y como está en el enlace de la Wikipedia:


Créditos: http://www.acienciasgalilei.com



¿Qué nos dice esta gráfica? Bueno, sin entrar en mucho detalle, nos vamos a fijar en el punto del eje x (el horizontal) que pone 0,5 π. Este valor es igual a 90º pero en radianes, otra escala de medida de ángulos. En ese punto, la gráfica de la tangente desaparece hacia arriba. En concreto, tiende al infinito. Esto es porque la propia definición de la tangente es tan(a)=sen(a)/cos(a) y cuando a=90º=0,5 π resulta que tenemos tan(a)=1/0 que tiende a infinito. 

Bien, retomando nuestro problema, tendríamos que calcular el límite cuando el ángulo tiende a 90º, la tangente del ángulo tiende a infinito también. Esto significa que no existe límite. Es decir, que las rectas no se cortan en  infinito tal y como creía mi abuelo (en un espacio euclídeo, para los puristas). Pero al menos consiguió que me comenzase a interesar por estos problemas y por las matemáticas en general.

P.D.: He revisado varias veces el texto para evitar cualquier error tonto. Sin embargo, como he estado muy liado, no lo he hecho con la calma que merece. Por tanto, si detectáis alguna errata, decidmelo para corregirlo. Gracias.

5 comentarios:

Jerónimo Buencuerpo dijo...

buen post estas muy didáctico! yo siempre recordaba más este problema con la convergencia de series,a ver si tienes tiempo y haces un segundo post. saludos

G de Galleta dijo...

Puede que tenga que ver. El recuerdo que tengo yo es imborrable, y fue antes de que supiese qué era una serie o la convergencia. Me alegro que te haya gustado. Y sí, a ver si saco tiempo y escribo más cosillas. Gracias!

Anónimo dijo...

sen (a)= x/h

Anónimo dijo...

¿De donde sale el 5?

G de Galleta dijo...

No lo encuentro en las notas, pero revisándolo creo que es un valor que di de separación entre las rectas. No sé el porqué de la elección, probablemente fue al azar, porque saldría igual con cualquier otro valor. Perdón por no aclararlo :)